\appendix
\section{Enunciado}
\begin{centering}
\bf Laboratorio de M\'etodos Num\'ericos - Primer cuatrimestre 2009 \\
\bf Trabajo Pr\'actico N\'umero 2: Estamos en el horno \\
\end{centering}

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Consideremos la secci\'on horizontal de un horno de acero cil\'\i ndrico,
como en la Figura 1. El sector A es la pared del horno, y el sector B es el
horno propiamente dicho, en el cual se funde el acero a temperaturas
elevadas. Tanto el borde externo como el borde interno de la pared
(interfaz entre el sector A y el sector B) forman c\'\i rculos. Suponemos
que la temperatura del acero dentro del horno (es decir, dentro del
sector B) es constante e igual a 1500${}^o$C.

Tenemos sensores ubicados en la parte externa del horno para medir la 
temperatura de la pared externa del mismo, que habitualmente se encuentra
entre 50${}^o$C y 200${}^o$C. El problema que debemos resolver
consiste en estimar la isoterma de 500${}^o$C dentro de la pared del horno,
para estimar la resistencia de la pared al momento de su puesta
en marcha. Si esta isoterma est\'a demasiado cerca de la pared externa
del horno, existe peligro de que la estructura externa de la pared colapse.

El objetivo del trabajo pr\'actico es implementar un programa que calcule
la isoterma solicitada, conociendo las dimensiones del horno y las
mediciones de temperatura en la pared exterior.

\textbf{El modelo}

Sea $r_e\in\real$ el radio exterior de la pared y sea $r_i\in\real$
el radio interior de la pared. Llamemos $T(r,\theta)$ a la temperatura
en el punto dado por las coordenadas polares $(r,\theta)$,
siendo $r$ el radio y $\theta$ el \'angulo polar de dicho punto. En el estado
estacionario (luego de un tiempo suficientemente largo de operaci\'on del
horno), esta temperatura satisface la ecuaci\'on del calor:
\begin{equation}
\frac{\partial^2 T(r,\theta)}{\partial r^2} + \frac{1}{r}
\frac{\partial T(r,\theta)}{\partial r} + \frac{1}{r^2}
\frac{\partial^2 T(r,\theta)}{\partial \theta^2} \ =\ 0 \label{calor}
\end{equation}
Si llamamos $T_i\in\real$ a la temperatura en el interior del horno (sector B)
y $T_e:[0,2\pi]\to\real$ a la funci\'on de temperatura en borde exterior
del horno (de modo tal que el punto $(r_e,\theta)$ tiene temperatura $T_e(\theta)$),
entonces tenemos que
\begin{eqnarray}
T(r,\theta) & = & T_i \quad\hbox{ para todo punto $(r,\theta)$ con $r\le r_i$,} \label{interior} \\
T(r_e,\theta) & = & T_e(\theta) \quad\hbox{ para todo punto $(r_e,\theta)$.} \label{exterior}
\end{eqnarray}

El problema en derivadas parciales dado por la ecuaci\'on (\ref{calor})
con condiciones de contorno (\ref{interior}) y (\ref{exterior}) permite
encontrar la funci\'on $T$ de temperatura en el interior del horno (sector A),
en funci\'on de los datos mencionados en esta secci\'on.

\textbf{La resoluci\'on}

Para resolver este problema computacionalmente, discretizamos el dominio
del problema (el sector A) en coordenadas polares. Consideremos una
partici\'on $0=\theta_0 < \theta_1 < \dots < \theta_n = 2\pi$ en $n$
\'angulos discretos con $\theta_k - \theta_{k-1} = \Delta\theta$ para
$k=1,\dots,n$, y una partici\'on $0 = r_0 < r_1 < \dots < r_m = r_e$
en $m+1$ radios discretos con $r_j-r_{j-1} = \Delta r$ para $j=1,\dots,m$.

El problema ahora consiste en determinar el valor de la funci\'on $T$ en los
puntos de la discretizaci\'on $(r_j, \theta_k)$ que se encuentren dentro
del sector A. Llamemos $t_{jk} = T(r_j, \theta_k)$ al valor
(desconocido) de la funci\'on $T$ en el punto $(r_j, \theta_k)$.

Para encontrar estos valores, transformamos la ecuaci\'on (\ref{calor})
en un conjunto de ecuaciones lineales sobre las inc\'ognitas $t_{jk}$,
evaluando (\ref{calor}) en todos los puntos de la discretizaci\'on que
se encuentren dentro del sector A. Al hacer esta evaluaci\'on, aproximamos
las derivadas parciales de $T$ en (\ref{calor}) por medio
de las siguientes f\'ormulas de diferencias finitas:
\begin{eqnarray}
\frac{\partial^2 T(r,\theta)}{\partial r^2}(r_j,\theta_k) & \cong & \frac{t_{j-1,k} - 2t_{jk} + t_{j+1,k}}{(\Delta r)^2} \nonumber \\[4pt]
\frac{\partial T(r,\theta)}{\partial r}(r_j,\theta_k) & \cong & \frac{t_{jk} - t_{j-1,k}}{\Delta r} \nonumber \\[4pt]
\frac{\partial^2 T(r,\theta)}{\partial \theta^2}(r_j,\theta_k) & \cong & \frac{t_{j,k-1} - 2t_{jk} + t_{j,k+1}}{(\Delta\theta)^2} \nonumber
\end{eqnarray}
Es importante notar que los valores de las inc\'ognitas son conocidos para los
puntos que se encuentran sobre el borde exterior de la pared, y para los puntos
que se encuentren dentro del sector B. Al realizar este procedimiento, obtenemos
un sistema de ecuaciones lineales que modela el problema discretizado. La
resoluci\'on de este sistema permite obtener una aproximaci\'on de los valores
de la funci\'on $T$ en los puntos de la discretizaci\'on.

\textbf{Enunciado}

Se debe implementar un programa que tome como entrada los datos del problema,
que calcule la temperatura dentro de la pared del horno utilizando la t\'ecnica
de resoluci\'on descripta en la secci\'on anterior, y que encuentre la
isoterma de 500${}^o$C en funci\'on del resultado de este sistema de ecuaciones.

El programa debe tomar los datos de entrada desde un archivo de texto, cuyo
formato queda a criterio del grupo. Es importante mencionar que los
par\'ametros $n$ y $m$ de la discretizaci\'on forman parte de los datos
de entrada. Un elemento importante a definir es la especificaci\'on de la
funci\'on $T_e(\theta)$ en este archivo de entrada, se sugiere que el
programa tome los valores ya discretizados de esta funci\'on.

El programa debe generar el sistema de ecuaciones lineales planteado en
la secci\'on anterior, procediendo a su resoluci\'on por medio de cualquier
m\'etodo directo para la resoluci\'on de sistemas de ecuaciones lineales
(es decir, un m\'etodo no iterativo). El programa debe escribir la soluci\'on
en un archivo, con un formato adecuado para su posterior graficaci\'on.

Por \'ultimo, sobre la base del resultado del sistema de ecuaciones, el programa
debe obtener la isoterma de 500${}^o$C. El informe debe contener una descripci\'on
detallada del m\'etodo computacional propuesto para obtener esta isoterma, junto
con todas las decisiones que el grupo haya tomado con relaci\'on a este punto.

Se pide realizar experimentos con al menos dos instancias de prueba, generando
distintas discretizaciones para cada una. Se recomienda fijar $r_e=1$ en estas
instancias. Se sugiere que se presenten los resultados de estos experimentos
en forma de gr\'aficos de temperatura o gr\'aficos de curvas de nivel, para
ayudar a la visualizaci\'on de los resultados. Como objetivo adicional no
obligatorio, se puede graficar el tiempo de resoluci\'on en funci\'on del
tama\~no de la discretizaci\'on, para predecir los tiempos en discretizaciones
m\'as refinadas.

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Fecha de entrega: Lunes 18 de Mayo
